Question

6．设椭圆E的方程为$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞b＞0）点O为坐标原点，点A的坐标为（a，0），点B的坐标为（0，b），点M满足$\overrightarrow{BM}$=2$\overrightarrow{MA}$，直线OM的斜率为$\frac{\sqrt{5}}{10}$，则椭圆E的离心率e=$\frac{2\sqrt{5}}{5}$．

Answer 1

分析 由题意可知A（a，0）、B（0，b），由向量的坐标表示，求得M坐标，根据斜率公式求得a和b的关系，根据椭圆的离心率公式即可求得椭圆E的离心率e．

解答 解：设M（x，y），A（a，0）、B（0，b），
∵$\overrightarrow{BM}$=2$\overrightarrow{MA}$，
即（x-0，y-b）=2（a-x，0-y），
解得：x=$\frac{2}{3}$a，y=$\frac{1}{3}$b，即M（$\frac{2}{3}$a，$\frac{1}{3}$b），
又∵直线OM的斜率为$\frac{\sqrt{5}}{10}$，
∴$\frac{b}{2a}$=$\frac{\sqrt{5}}{10}$，
∴a=$\sqrt{5}$b，c=$\sqrt{{a}^{2}-{b}^{2}}$=2b，
∴椭圆E的离心率e=$\frac{c}{a}$=$\frac{2\sqrt{5}}{5}$，
故答案为：$\frac{2\sqrt{5}}{5}$．

点评 本题考查椭圆的标准方程，椭圆的离心率公式及直线的斜率公式，考查计算能力，属于中档题．