Question

对于数列{u_n}，若存在常数M＞0，对任意的n∈N^*，恒有|u_n+1-u_n|+|u_n-u_n-1|+…+|u₂-u₁|≤M，则称数列{u_n}为M数列．有下列命题：
（1）若数列{x_n}是M数列，则数列{x_n}的前n项和{S_n}是M数列；
（2）若数列{x_n}的前n项和{S_n}是M数列，则数列{x_n}不是M数列；
（3）若数列{a_n}是M数列，则数列{a_n²}也是M数列，
其中真命题的序号是

 

．

Answer 1

考点：数列的函数特性

专题：等差数列与等比数列

分析：（1）只需举一反例即可；事实上设x_n=1（n∈N^*），易知数列x_n是M数列，但S_n=n，|S_n+1-S_n|+|S_n-S_n-1|+…+|S₂-S₁|=n．由n的任意性知，数列S_n不是M数列．
（2）根据M数列的定义加以证明
（3）数列{a_n}都是M数列，则有|a_n+1-a_n|+|a_n-a_n-1|+…+|a₂-a₁|≤M₁下面只需验证|a_n+1²-a_n²|+|a_n²-a_n-1²|+…+|a₂²-a₁²|≤M．

解答： 解：（1）：若数列{x_n}是M数列，则数列{x_n}的前n项和{S_n}是M数列，此命题为假命题．
事实上设x_n=1（n∈N^*），易知数列x_n是M数列，但S_n=n，
|S_n+1-S_n|+|S_n-S_n-1|+…+|S₂-S₁|=n．
由n的任意性知，数列S_n不是M数列．
（2）：若数列{x_n}的前n项和{S_n}是M数列，则数列{x_n}不是M数列．此命题为真命题．
事实上，因为数列S_n是M数列，
所以存在正数M，对任意的n∈N^*，
有|S_n+1-S_n|+|S_n-S_n-1|+…+|S₂-S₁|≤M，
即|x_n+1|+|x_n|+…+|x₂|≤M．
于是|x_n+1-x_n|+|x_n-x_n-1|+…+|x₂-x₁|≤|x_n+1|+2|x_n|+2|x_n-1|+…+2|x₂|+|x₁|≤2M+|x₁|，
所以数列x_n是M数列．
（3）若数列{a_n}是M数列，则数列{a_n²}也是M数列，此命题为真命题．
若数列是{a_n}M数列，则存在正数M，对任意的n∈N^*有
|a_n+1-a_n|+|a_n-a_n-1|+…+|a₂-a₁|≤M
因为|a_n|=|a_n-a_n-1+a_n-1+a_n-2+…+a₂-a₁+a₁|≤|a_n-a_n-1|+|a_n-1-a_n-2|+…+|a₂-a₁|+|a₁|≤M+|a₁|
记K=M+|a₁|，则有|a_n+1²-a_n²|=|（a_n+1+a_n）（a_n+1-a_n）
≤（|a_n+1|+|a_n|）|a_n+1-a_n|≤2K|a_n+1-a_n|
因此|a_n+1²-a_n²|+|a_n²-a_n-1²|+…+|a₂²-a₁²|≤2KM
故数列{a_n²}是M数列．
故答案为：②③

点评：考查学生理解数列概念，灵活运用数列表示法的能力，旨在考查学生的观察分析和归纳能力，特别是问题（2）（3）的设置，增加了题目的难度，同时也考查了等差数列的定义和分类讨论的思想，属难题．