【题目】已知f(x)=logax(a>0,a≠1),设数列f(a1),f(a2),f(a3),…,f(an)…是首项为4,公差为2的等差数列.
(I)设a为常数,求证:{an}成等比数列;
(II)设bn=anf(an),数列{bn}前n项和是Sn , 当时,求Sn .
【答案】证明:(I)f(an)=4+(n﹣1)×2=2n+2,
即logaan=2n+2,可得an=a2n+2 .
∴为定值.
∴{an}为等比数列.
(II)解:bn=anf(an)=a2n+2logaa2n+2=(2n+2)a2n+2 .
当时,
.
Sn=2×23+3×24+4×25++(n+1)2n+2 ①
2Sn=2×24+3×25+4×26++n2n+2+(n+1)2n+3 ②
①﹣②得﹣Sn=2×23+24+25++2n+2﹣(n+1)2n+3
=﹣(n+1)2n+3=16+2n+3﹣24﹣n2n+3﹣2n+3 .
∴Sn=n2n+3 .
【解析】(I)先利用条件求出f(an)的表达式,进而求出{an}的通项公式,再用定义来证{an}是等比数列即可;
(II)先求出数列{bn}的通项公式,再对数列{bn}利用错位相减法求和即可.
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【题目】已知Sn为等差数列{an}的前n项和,S6=51,a5=13.
(1)求数列{an}的通项公式;
(2)数列{bn}的通项公式是bn= , 求数列{bn}的前n项和Sn .
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【题目】某市调研考试后,某校对甲、乙两个文科班的数学考试成绩进行分析,规定:大于或等于120分为优秀,120分以下为非优秀.统计成绩后,得到如下的列联表,且已知在甲、乙两个文科班全部110人中随机抽取1人为优秀的概率为
.
优秀 | 非优秀 | 合计 | |
甲班 | 10 | ||
乙班 | 30 | ||
合计 | 110 |
(1)请完成上面的列联表;
(2)根据列联表的数据,若按99%的可靠性要求,能否认为“成绩与班级有关系”;
(3)若按下面的方法从甲班优秀的学生中抽取一人:把甲班优秀的10名学生从2到11进行编号,先后两次抛掷一枚均匀的骰子,出现的点数之和为被抽取人的序号.试求抽到9号或10号的概率.
参考公式及数据:,
.
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【题目】年
月
日是第二十七届“世界水日”,
月
日是第三十二届“中国水周”.我国纪念
年“世界水日”和“中国水周”活动的宣传主题为“坚持节水优先,强化水资源管理”.某中学课题小组抽取
、
两个小区各
户家庭,记录他们
月份的用水量(单位:
)如下表:
| ||||||||||
| ||||||||||
(1)根据两组数据完成下面的茎叶图,从茎叶图看,哪个小区居民节水意识更好?
(2)从用水量不少于的家庭中,
、
两个小区各随机抽取一户,求
小区家庭的用水量低于
小区的概率.
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【题目】已知 =(cosα,sinα),
=(cosβ,sinβ),0<β<α<π.
(1)若| ﹣
|=
,求证:
⊥
;
(2)设 =(0,1),若
+
=
,求α,β的值.
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