Question

如图，椭圆的中心为原点O，长轴在x轴上，离心率，过左焦点F₁作x轴的垂线交椭圆于A、A′两点，|AA′|=4．
（1）求该椭圆的标准方程；
（2）取平行于y轴的直线与椭圆相交于不同的两点P、P′，过P、P′作圆心为Q的圆，使椭圆上的其余点均在圆Q外．求△PP'Q的面积S的最大值，并写出对应的圆Q的标准方程．

Answer 1

（1）
（2）见解析

（1）设椭圆方程为，
左焦点F₁（﹣c，0），将横坐标﹣c代入椭圆方程，得y=，
所以①，②，a²=b²+c²③，联立①②③解得a=4，，
所以椭圆方程为：；
（2）设Q（t，0）（t＞0），圆的半径为r，直线PP′方程为：x=m（m＞t），
则圆Q的方程为：（x﹣t）²+y²=r²，
由得x²﹣4tx+2t²+16﹣2r²=0，
由△=0，即16t²﹣4（2t²+16﹣2r²）=0，得t²+r²=8，①
把x=m代入，得，
所以点P坐标为（m，），代入（x﹣t）²+y²=r²，得，②
由①②消掉r²得4t²﹣4mt+m²=0，即m=2t，
=×（m﹣t）==≤×=2，
当且仅当4﹣t²=t²即t=时取等号，
此时t+r=+＜4，椭圆上除P、P′外的点在圆Q外，
所以△PP'Q的面积S的最大值为，圆Q的标准方程为：．
当圆心Q、直线PP′在y轴左侧时，由对称性可得圆Q的方程为，△PP'Q的面积S的最大值仍为为．