Question

7．已知f（x）=$\overrightarrow a•\overrightarrow b$，其中$\overrightarrow a=（2cosx，-\sqrt{3}sin2x），\overrightarrow b=（cosx，1），x∈R$．
（I）求f（x）在区间[-π，π]上的单调递增区间；
（Ⅱ）在△ABC中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c，f（A）=-1，a=$\frac{{\sqrt{7}}}{2}$，且向量$\overrightarrow m=（sinB，-3）与\overrightarrow n=（2，sinC）$垂直，求边长b和c的值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）根据平面向量的数量积化简f（x）为余弦型函数，求出f（x）在区间[-π，π]上的单调递增区间即可；
（Ⅱ）根据f（A）=-1求出A的值，利用平面向量的数量积和正弦、余弦定理，即可求出b、c的值．

解答 解：（Ⅰ）$\overrightarrow a=（2cosx，-\sqrt{3}sin2x），\overrightarrow b=（cosx，1），x∈R$；
∴f（x）=$\overrightarrow a•\overrightarrow b$=2cos²x-$\sqrt{3}$sin2x=cos2x-$\sqrt{3}$sin2x+1=2cos（2x+$\frac{π}{3}$）+1，
令-π+2kπ≤2x+$\frac{π}{3}$≤2kπ，k∈Z，
得-$\frac{2π}{3}$+kπ≤x≤-$\frac{π}{6}$+kπ，k∈Z，
当k=0时，-$\frac{2π}{3}$≤x≤-$\frac{π}{6}$，
当k=1时，$\frac{π}{3}$≤x≤$\frac{5π}{6}$，
∴f（x）在区间[-π，π]上的单调递增区间是[-$\frac{2π}{3}$，-$\frac{π}{6}$]和[$\frac{π}{3}$，$\frac{5π}{6}$]；
（Ⅱ）△ABC中，f（A）=-1，
∴2cos（2A+$\frac{π}{3}$）+1=-1，
∴cos（2A+$\frac{π}{3}$）=-1，
∴2A+$\frac{π}{3}$=π，
解得A=$\frac{π}{3}$；
又a=$\frac{{\sqrt{7}}}{2}$，
向量$\overrightarrow m=（sinB，-3）与\overrightarrow n=（2，sinC）$垂直，
∴$\overrightarrow{m}$•$\overrightarrow{n}$=2sinB-3sinC=0，
由正弦定理得：2b-3c=0，
∴b=$\frac{3}{2}$c；
由余弦定理得：a²=b²+c²-2bccosA，
即$\frac{7}{4}$=$\frac{9}{4}$c²+c²-2×$\frac{3}{2}$c²×$\frac{1}{2}$，
解得c=1；
∴b=$\frac{3}{2}$．

点评 本题考查了平面向量的数量积和三角恒等变换以及正弦、余弦定理的应用问题，是综合性题目．