Question

定义两个平面向量的一种运算

a

?

b

=|

a

|•|

b

|sin＜

a

，

b

＞，则关于平面向量上述运算的以下结论中，
①

a

?

b

=

b

?

a

，②λ（

a

?

b

）=（λ

a

）?

b

，③若

a

=λ

b

，则

a

?

b

=0④若

a

=λ

b

，且λ＞0，则（

a

+

b

）?

c

=（

a

?

c

）+（

b

?

c

）．
恒成立的有

 

．（填序号 ）

Answer 1

考点：平面向量数量积的运算

专题：平面向量及应用

分析：运用新定义，即可判断①；运用新定义，求出等式的左右两边，再讨论λ的符号，即可判断②；
运用向量共线的定义，再由新定义，即可判断③；运用向量的共线，再由新定义，即可判断④．

解答： 解：①∵

a

?

b

=|

a

||

b

|sin＜

a

，

b

＞=

b

?

a

，故恒成立；
②∵λ（

a

?

b

）=λ|

a

||

b

|sin＜

a

，

b

＞，而（λ

a

）?

b

=|λ

a

||

b

|sin＜

a

，

b

＞，
当λ＜0时，λ（

a

?

b

）=（λ

a

）?

b

，不恒成立；
③若

a

=λ

b

，则sin＜

a

，

b

＞=0，得到

a

?

b

=0，故恒成立；
④若

a

=λ

b

，且λ＞0，则

a

+

b

=（1+λ）

b

，
∴（

a

+

b

）?

c

=|（1+λ）||

b

||

c

|sin＜

b

，

c

＞，
而（

a

?

c

）+（

b

?

c

）=|λ

b

||

c

|sin＜

b

，

c

＞+|

b

||

c

|sin＜

b

，

c

＞=|1+λ||

b

||

c

|sin＜

b

，

c

＞．
故（

a

+

b

）?

c

=（

a

?

c

）+（

b

?

c

）恒成立．
综上可知：只有①③④恒成立．
故答案为：①③④

点评：本题考查的知识点是平面向量的运算，合情推理，正确理解新定义及熟练掌握向量的运算性质是解题的关键．