Question

已知函数f（x）=sin（ωx+φ）（ω＞0，0≤φ≤π）为偶函数，其图象上相邻的两个最高点间的距离为2π．
（1）求f（x）的解析式；
（2）α为锐角，且f（a+

π

3

）=

1

3

，求sin（

3π

2

+α）的值．

Answer 1

考点：正弦函数的图象,运用诱导公式化简求值

专题：三角函数的图像与性质

分析：（1）由周期求得ω，根据函数的奇偶性求得φ，可得函数的解析式．
（2）由f（a+

π

3

）=cos（α+

π

3

）=

1

3

，α为锐角，求得sin（α+

π

3

）的值，再根据sin（

3π

2

+α）=-cosα=-cos[（α+

π

3

）-

π

3

]，利用两角差的余弦公式计算求得结果．

解答： 解：（1）∵图象上相邻的两个最高点间的距离为2π，∴T=

2π

ω

=2π，求得ω=1．
又f（x）为偶函数，则φ=kπ+

π

2

，k∈z，结合0≤φ≤π，可得φ=

π

2

，故f（x）=sin（x+

π

2

）=cosx．
（2）由f（a+

π

3

）=cos（α+

π

3

）=

1

3

，α为锐角，所以，sin（α+

π

3

）=

2 2

3

，
∴sin（

3π

2

+α）=-cosα=-cos[（α+

π

3

）-

π

3

]=-[cos（α+

π

3

）cos

π

3

+sin（α+

π

3

）sin

π

3

]
=-[

1

3

×

1

2

+

2 2

3

×

3

2

]=-

2 6 +1

6

．

点评：本题主要考查正弦函数的图象和性质，诱导公式、两角和差的余弦公式的应用，属于基础题．