Question

关于x的不等式|x-2|＜|ax|（a＞0）恰有三个正整数解，则a的取值范围为

 

．

Answer 1

考点：根的存在性及根的个数判断

专题：不等式的解法及应用

分析：首先根据|x-2|＜|ax|（a＞0），可得

|x-2|

|x|

＜a，整理，可得1-a＜

2

x

＜1+a；然后分类讨论，求出a的取值范围即可．

解答： 解：由|x-2|＜|ax|（a＞0），
可得

|x-2|

|x|

＜a，
整理，可得1-a＜

2

x

＜1+a；
①当1-a=0，即a=1时，
可得x＞

2

3

，有无数个正整数解，
所以a=1时，不符合题意；
②当1-a＜0时，即a＞1时，
x＞

2

1+a

，有无数个正整数解，
所以a＞1时，不符合题意；
③当1-a＞0时，即0＜a＜1时，

2

1+a

＜x＜

2

1-a

，
因为1＜

2

1+a

＜2，不等式恰有三个正整数解，
可得不等式的正整数解是从2开始的3个连续正整数，
即不等式的三个正整数解是2、3、4，
所以4＜

2

1-a

≤5，
解得

1

2

＜a≤

3

5

，
则a的取值范围为（

1

2

，

3

5

]．
故答案为：（

1

2

，

3

5

]．

点评：本题主要考查了求不等式的整数解的方法，考查了分类讨论思想的运用，属于中档题．