Question

一中食堂有一个面食窗口，假设学生买饭所需的时间互相独立，且都是整数分钟，对以往学生买饭所需的时间统计结果如下：

买饭时间（分）	1	2	3	4	5
频率	0.1	0.4	0.3	0.1	0.1

从第一个学生开始买饭时计时．
（理科）（1）估计第三个学生恰好等待4分钟开始买饭的概率；
       （2）X表示至第2分钟末已买完饭的人数，求X的分布列及数学期望．
（文科）（1）求第2分钟末没有人买晚饭的概率；
       （2）估计第三个学生恰好等待4分钟开始买饭的概率．

Answer 1

考点：离散型随机变量的期望与方差,古典概型及其概率计算公式

专题：概率与统计

分析：（理科）（1）设Y表示学生买饭所需的时间，用频率估计概率，先求出Y的分布列，A表示事件“第三个学生恰好等待4分钟开始买饭”，分不同情况讨论，能求出第三个学生恰好等待4分钟开始买饭的概率．
（2）由已知条件，得X所有可能的取值为0，1，2，分别求出相对应的概率，能求出X的分布列和数学期望．
（文科）（1）记‘第2分钟末没有人买到饭’为A事件，即第一个学生买饭所需的时间超过2分钟，由此能求出第2分钟末没有人买晚饭的概率．
（2）A表示事件“第三个学生恰好等待4分钟开始买饭”，分不同情况讨论，能求出第三个学生恰好等待4分钟开始买饭的概率．

解答： （理科）（1）解：设Y表示学生买饭所需的时间，用频率估计概率，得Y的分布列如下：

Y	1	2	3	4	5
P	0.1	0.4	0.3	0.1	0.1

A表示事件“第三个学生恰好等待4分钟开始买饭”，则事件A对应三种情形：
①第一个学生买饭所需的时间为1分钟，
且第二个学生买饭所需的时间为3分钟；
②第一个学生买饭所需的时间为3分钟，
且第二个学生买饭所需的时间为1分钟；
③第一个和第二个学生买饭所需的时间均为2分钟．
所以P（A）=P（Y=1）P（Y=3）+P（Y=3）P（Y=1）+P（Y=2）P（Y=2）
=0.1×0.3+0.3×0.1+0.4×0.4=0.22…．（6分）
（2）X所有可能的取值为0，1，2，
X=0对应第一个学生买饭所需的时间超过2分钟，
所以P（X=0）=P（Y＞2）=0.5；
X=1对应第一个学生买饭所需的时间为1分钟，且第二个学生买饭所需的时间超过1分钟，
或第一个学生买饭所需的时间为2分钟．
所以P（X=1）=P（Y=1）P（Y＞1）+P（Y=2）
=0.1×0.9+0.4=0.49；
X=2对应两个学生买饭所需时间均为1分钟，
所以P（X=2）=P（Y=1）P（Y=1）=0.1×0.1=0.01．
所以X的分布列为

X	0	1	2
P	0.5	0.49	0.01

EX=0×0.5+1×0.49+2×0.01=0.51…（12分）
（文科）（1）记‘第2分钟末没有人买到饭’为A事件，
即是第一个学生买饭所需的时间超过2分钟，
所以p（A）=p（Y＞2）=0.5…..（6分）
（2）A表示事件“第三个学生恰好等待4分钟开始买饭”，
则事件A对应三种情形：
①第一个学生买饭所需的时间为1分钟，且第二个学生买饭所需的时间为3分钟；
②第一个学生买饭所需的时间为3分钟，且第二个学生买饭所需的时间为1分钟；
③第一个和第二个学生买饭所需的时间均为2分钟．
所以P（A）=P（Y=1）P（Y=3）+P（Y=3）P（Y=1）+P（Y=2）P（Y=2）
=0.1×0.3+0.3×0.1+0.4×0.4=0.22…（12分）

点评：本题考查离散型随机变量的分布列和数学期望的求法，是历年高考的必考题型之一，解题时要注意排列组合知识的合理运用，是中档题．