Question

已知m≥2，点P（x，y）满足

y≥x y≤mx x+y≤1

，点Q的坐标为（0，-1），记f（m）为

OP

•

OQ

的最小值，则f（m）的最大值为

 

．

Answer 1

考点：简单线性规划

专题：不等式的解法及应用

分析：利用数量积的公式求出f（m），利用数形结合得到f（m）的表达式，即可得到结论．

解答： 解：设z=f（m）=

OP

•

OQ

=（x，y）•（0，-1）=-y，即y=-z，
作出不等式组对应的平面区域如图：
平移直线y=-z，由图象可知当直线y=-z经过点B时，z取得最小值，
由

y=mx x+y=1

，解得x=

1

1+m

，y=

m

1+m

，即B（

1

1+m

，

m

1+m

，）
即z=-y=-

m

1+m

=-（

m+1-1

1+m

）=-1+

1

1+m

，在m≥2上单调递减，
∴当m=2时，z取得最大值f（2）=-1+

1

3

=-

2

3

，
故答案为：-

2

3

点评：本题主要考查线性规划的应用，利用数形结合是解决本题的关键，要求熟练掌握分式函数最值的应用．