Question

18.某单位有三辆汽车参加某种事故保险.单位年初向保险公司缴纳每辆900元的保险金.对在一年内发生此种事故的每辆汽车,单位可获9000元的赔偿(假设每辆车最多只赔偿一次).设这三辆车在一年内发生此种事故的概率分别为、、，且各车是否发生事故相互独立，求一年内该单位在此保险中：

（Ⅰ）获赔的概率；

（Ⅱ）获赔金额ξ的分布列与期望.

Answer 1

解：设A_k表示第k辆车在一年内发生此种事故,k=1,2,3,由题意知A₁,A₂,A₃独立,且

P(A₁)=,P(A₂)=,P(A₁)= .

(Ⅰ)该单位一年内获赔的概率为

1-P()=1-P()P()P()=1-.

(Ⅱ)ξ的所有可能值为0,9000,18000,27000.

P(ξ=0)=P()=P()P()P()=,

P(ξ=9000)= P()+P(P()+P()

=P(A₁)P()P()+P()P(A₂)P()+P()P()P(A₃)

=

=,

P(ξ=18000)=P(A₁A₂)+ P(A₁A₃)+P(A₂A₃)

=P(A₁)P(A₂)P()+P(A₁)P()P(A₃)+P()P(A₂)P(A₃)

=

=,

P=(ξ=27000)=P(A₁A₂A₃)=P(A₁)P(A₂)P(A₃)

=.

综上知, ξ的分布列为

ξ	0             9000          18000       27000
P

求ξ的期望有两种解法:

解法一:由ξ的分布列得

Eξ=0×+9000×+18000×+27000×

   =≈2718.18(元).

解法二:设ξ_k表示第k辆车一年内获赔金额,k=1,2,3,

则ξ₁有分布列

ξ1	0              9000
P

故Eξ₁=9000×=1000.

同理得Eξ₂=9000×=900,Eξ₃=9000×≈818.18.

综上有

Eξ=Eξ₁+Eξ₂+Eξ₃=1000+900+818.18=2718.18(元).