Question

3．△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若a²-b²+ac=0，A=30°，△ABC的面积为2$\sqrt{3}$，D为AB的中点，则CD=2．

Answer 1

分析 由条件利用余弦定理求得a、b、c的值，△ACD中，再利用余弦定理求得CD的值．

解答 解：△ABC中，若a²-b²+ac=0，A=30°，则由余弦定理可得a²=b²+c²-2bc•cosA=b²+c²-$\sqrt{3}$bc，
∴c=$\sqrt{3}$b-a，代入a²-b²+ac=0，可得b=$\sqrt{3}$a，c=$\sqrt{3}$b-a=2a．
∵△ABC的面积为 $\frac{1}{2}$bc•sinA=$\frac{1}{2}$$\sqrt{3}$a•2a•sin30°=2$\sqrt{3}$，∴a=2，b=3$\sqrt{3}$，c=4，
∴CD²=b²+${（\frac{c}{2}）}^{2}$-2b•$\frac{c}{2}$•cosA=27+4-2•3$\sqrt{3}$•2•$\frac{\sqrt{3}}{2}$=4，解得CD=2，
故答案为：2．

点评 本题主要考查余弦定理、三角形的面积公式，属于中档题．