Question

函数f(x)=(a，b是非零实常数)，满足f(2)=1，且方程f(x)=x有且仅有一个解。

(1)求a、b的值；

(2)是否存在实常数m，使得对定义域中任意的x，f(x)+f(m–x)=4恒成立？为什么？

(3)在直角坐标系中，求定点A(–3,1)到此函数图象上任意一点P的距离|AP|的最小值。

Answer 1

（1）1；（2）（3）3

解析:

(1)由f(2)=1得2a+b=2，又x=0一定是方程=x的解，

所以=1无解或有解为0，若无解，则ax+b=1无解，得a=0，矛盾，若有解为0，则b=1，所以a=。

(2)f(x)=，设存在常数m，使得对定义域中任意的x，f(x)+f(m–x)=4恒成立，

取x=0，则f(0)+f(m–0)=4，即=4，m= –4(必要性)，

又m= –4时，f(x)+f(–4–x)==……=4成立(充分性) ，所以存在常数m= –4，使得对定义域中任意的x，f(x)+f(m–x)=4恒成立，

(3)|AP|²=(x+3)²+()²，设x+2=t，t≠0，

则|AP|²=(t+1)²+()²=t²+2t+2–+=(t²+)+2(t–)+2=(t–)²+2(t–)+10

=( t–+1)²+9， 所以当t–+1=0时即t=，也就是x=时，|AP| _min = 3 。