Question

【题目】6个人坐在一排10个座位上，问
（1）空位不相邻的坐法有多少种？
（2）4个空位只有3个相邻的坐法有多少种？
（3）4个空位至多有2个相邻的坐法有多少种？

Answer 1

【答案】
（1）解：6个人排有A66种，6人排好后包括两端共有7个“间隔”可以插入空位．

空位不相邻相当于将4个空位安插在上述个“间隔”中，有C74=35种插法，

故空位不相邻的坐法有A66C74=25200种

（2）解：将相邻的3个空位当作一个元素，另一空位当作另一个元素，往7个“间隔”里插

有A72种插法，故4个空位中只有3个相邻的坐法有A66A72=30240种．

（3）解：4个空位至多有2个相邻的情况有三类：

①4个空位各不相邻有C74种坐法；

②4个空位2个相邻，另有2个不相邻有C71C62种坐法；

③4个空位分两组，每组都有2个相邻，有C72种坐法．

综合上述，应有A66（C74+C71C62+C72）=115920种坐法

【解析】（1）空位不相邻相当于将4个空位安插在6个人隔开的7个间隔中，有C74种插法，得到空位不相邻的坐法有几种．（2）将相邻的3个空位当作一个元素，另一空位当作另一个元素，往7个间隔里插有A72种插法，故4个空位中只有3个相邻的坐法有A66A72种．（3）4个空位至少有2个相邻的情况有三类：①4个空位各不相邻②4个空位2个相邻，另有2个不相邻③4个空位分两组，每组都有2个相邻．根据分类计数原理得到结果．