Question

（本小题满分14分）已知为常数，且，函数的最小值和函数 的最小值都是函数R的零点.

（1）用含的式子表示，并求出的取值范围；

（2）求函数在区间上的最大值和最小值.

Answer 1

（1），；（2）最大值为，最小值为.

【解析】

试题分析：（1）先求函数和的最小值，再利用函数的零点即可得用含的式子表示，进而根据一元二次方程的根的分布情况即可得的取值范围；（2）先对函数求导，再判断函数在上的单调性即可得函数在区间上的最大值和最小值.

试题解析：（1）解：由于，，则，

当且仅当，即时，. 1分

，当时，.

2分

∵，

∴，.

由于，结合题意，可知，

方程的两根是，， 3分

故，. 4分

∴.

∴. 5分

而方程的一个根在区间上，另一个根在区间上.

令，

则 6分

即解得 7分

∴. 8分

∴，.

求的取值范围的其它解法：

另法1：由，得， 6分

∵，

∴． ７分

∵，

∴． 8分

另法2：设，，

则， 6分

故函数在区间上单调递减．

∴． ７分

∴． 8分

（2）【解析】
由（1）得，则. 9分

∵，

∴二次函数的开口向下，对称轴.

故函数在区间上单调递减. 10分

又， 11分

∴当时，.

∴函数在区间上单调递减. 12分

∴函数的最大值为，最小值为. 14分

考点：1、利用导数研究在闭区间上函数的最值；2、利用导数研究函数的单调性；3、函数的零点；4、基本不等式；5、一元二次方程的根的分布.

考点分析： 考点1：函数与方程 试题属性

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