【题目】如图,四棱锥的底面
是平行四边形,侧面
是边长为2的正三角形,
,
.
(Ⅰ)求证:平面平面
;
(Ⅱ)设是棱
上的点,当
平面
时,求二面角
的余弦值.
【答案】(Ⅰ)见解析; (Ⅱ).
【解析】试题分析:(Ⅰ)要证平面平面
,只需证
平面
即可.
(Ⅱ)分别以、
、
所在直线为
轴、
轴、
轴建立空间直角坐标系如图,求平面
的一个法向量和平面
的一个法向量求解即可.
试题解析:
(Ⅰ)取的中点
,连接
,
,
因为是边长为2的正三角形,所以
,
,①
又,所以
,且
,
于是,从而
,②
由①②得平面
,而
平面
,所以平面
平面
.
(Ⅱ)连结,设
,则
为
的中点,连结
,当
平面
时,
,所以
是
的中点.
由(Ⅰ)知, 、
、
两两垂直,分别以
、
、
所在直线为
轴、
轴、
轴建立空间直角坐标系如图,则
、
、
、
,
由、
坐标得
,从而
,
,
设是平面
的一个法向量,则由
得
,
取,得
,易知平面
的一个法向量是
,
所以
,
由图可知,二面角的平面角为钝角,故所求余弦值为
.
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【题目】已知集合A={x|x≤﹣1或x≥5},集合B={x|2a≤x≤a+2}.
(1)若a=﹣1,求A∩B和A∪B;
(2)若A∩B=B,求实数a的取值范围.
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【题目】下列说法:①将一组数据中的每个数据都加上或减去同一个常数后,方差恒不变;②设有一个回归方程,变量
增加一个单位时,
平均增加5个单位;③线性回归方程
必过
;④在吸烟与患肺病这两个分类变量的计算中,从独立性检验知,有99%的把握认为吸烟与患肺病有关系时,我们说某人吸烟,那么他有99%的可能患肺病;其中错误的个数是( )
A.0 B.1 C. 2 D.3
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【题目】某单位职工义务献血,在体检合格的人中, 型血的共有28人,
型血的共有7人,
型血的共有9人,
型血的有3人.
(1)从中任选1人去献血,有多少种不同的选法?
(2)从四种血型的人中各选1人去献血,有多少种不同的选法?
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【题目】某种产品的质量以其质量指标值衡量,并依据质量指标值划分等级如下表:
质量指标值 | |||
等级 | 三等品 | 二等品 | 一等品 |
从某企业生产的这种产品中抽取200件,检测后得到如下的频率分布直方图:
(Ⅰ)根据以上抽样调查数据,能否认为该企业生产的这种产品符合“一、二等品至少要占全部产品92%”的规定?
(Ⅱ)在样本中,按产品等级用分层抽样的方法抽取8件,再从这8件产品中随机抽取4件,求抽取的4件产品中,一、二、三等品都有的概率;
(Ⅲ)该企业为提高产品质量,开展了“质量提升月”活动,活动后再抽样检测,产品质量指标值近似满足
,则“质量提升月”活动后的质量指标值的均值比活动前大约提升了多少?
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【题目】已知向量 =(cosωx,sinωx),
=(cosωx,
cosωx),其中ω>0,设函数f(x)=
.
(1)若函数f(x)的最小正周期是π,求函数f(x)的单调递增区间;
(2)若函数f(x)的图象的一个对称中心的横坐标为 ,求ω的最小值.
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【题目】已知f(x)=2sinxcosx+2cos2x﹣1.
(1)求f(x)的最大值,以及该函数取最大值时x的取值集合;
(2)在△ABC中,a、b、c分别是角A、B、C所对的边长,且,求角C.
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【题目】上周某校高三年级学生参加了数学测试,年部组织任课教师对这次考试进行成绩分析.现从中抽取80名学生的数学成绩(均为整数)的频率分布直方图如图所示.
(Ⅰ)估计这次月考数学成绩的平均分和众数;
(Ⅱ)假设抽出学生的数学成绩在段各不相同,且都超过94分.若将频率视为概率,现用简单随机抽样的方法,从95,96,97,98,99,100这6个数字中任意抽取2个数,有放回地抽取3次,记这3次抽取中恰好有两名学生的数学成绩的次数为
,求
的分布列和期望.
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【题目】设数列的前n项和为
,已知
(p、q为常数,
),又
,
,
.
(1)求p、q的值;
(2)求数列的通项公式;
(3)是否存在正整数m、n,使成立?若存在,求出所有符合条件的有序实数对
;若不存在,说明理由.
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