Question

已知抛物线y²=4ax（a＞0）的焦点为A，以B（a+4，0）为圆心，|AB|长为半径，在x轴上方的半圆交抛物线于不同的两点M、N，P是MN的中点．
（1）求实数a的取值范围；
（2）求|AM|+|AN|的值；
（3）是否存在这样的a值，使|AM|，|AP|，|AN|成等差数列？

Answer 1

考点：抛物线的简单性质,等差关系的确定

专题：综合题,圆锥曲线的定义、性质与方程

分析：（1）先设M、N、P在抛物线的准线上的射影分别为M′，N′，P′，根据抛物线的定义可得到|AM|+|AN|=|MM′|+|NN′|=x_M+x_N+2a，然后联立抛物线与圆的方程消去y得到关于x的一元二次方程，利用判别式，可求实数a的取值范围；
（2）求出两根之和，即可得到|AM|+|AN|的值．
（3）先假设存在a满足条件，根据2|AP|=|AM|+|AN|，再由|AM|+|AN|=|MM′|+|NN′|=2|PP′|可得到|AP|=|PP′|，故可得到点P必在抛物线上，但与点P是弦MN的中点矛盾，可得到结论．

解答： 解：（1）设M、N、P在抛物线的准线上的射影分别为M′，N′，P′，由抛物线定义得：|AM|+|AN|=|MM′|+|NN′|=x_M+x_N+2a，
又圆的方程为[x-（a+4）]²+y²=16，将y²=4ax代入得：x²-2（4-a）•x+a²+8a=0，
∴△=4（4-a）²-4（a²+8a）＞0，
∴a＜1；
（2）由（1）知，x_M+x_N=2（4-a），所以|AM|+|AN|=8．
（3）假设存在这样的a，使得：2|AP|=|AM|+|AN|，
∵|AM|+|AN|=|MM′|+|NN′|=2|PP′|，
∴|AP|=|PP′|．
由定义知点P必在抛物线上，这与点P是弦MN的中点矛盾，
所以这样的a不存在．

点评：本题主要考查抛物线的基本性质、等差关系的确定等，考查综合运用能力和计算能力，属于中档题．