Question

5．如图所示，直线l经过抛物线y²=2px（p＞0）的焦点F，且与抛物线交于点P，Q两点，由P，Q分别作抛物线的切线交于M，如果|PF|=a，|QF|=b，则|MF|的值为（　　）

• A． a+b
• B． $\frac{1}{2}（a+b）$
• C． ab
• D． $\sqrt{ab}$

Answer 1

分析 求出切线MP，MQ的斜率，利用y₁y₂=-p²，可得k_MPk_MQ=-1，利用射影定理，即可得出结论．

解答 解：由抛物线y²=2px得其焦点坐标为F（$\frac{p}{2}$，0）．
设P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂），则
∵y²=2px，∴y′=$\frac{p}{y}$，
∴k_MP=$\frac{p}{{y}_{1}}$，k_MQ=$\frac{p}{{y}_{2}}$，
∵直线l经过抛物线y²=2px（p＞0）的焦点F，且与抛物线交于点P，Q两点，
∴y₁y₂=-p²，
∴k_MPk_MQ=-1，
∴MP⊥MQ，
∵|PF|=a，|QF|=b，
∴|MF|=$\sqrt{ab}$．
故选：D．

点评 本题考查直线与抛物线的位置关系，考查抛物线的切线斜率，考查射影定理，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．