Question

【题目】已知函数，设直线分别是曲线的两条不同的切线；

（1）若函数为奇函数，且当时，有极小值为-4；

（i）求的值；

（ii）若直线亦与曲线相切，且三条不同的直线交于点，求实数m的取值范围；

（2）若直线，直线与曲线切于点B且交曲线于点D，直线与曲线切于点C且交曲线于点A，记点的横坐标分别为，求的值.

Answer 1

【答案】（1） ； ； （2）.

【解析】

（1）根据奇函数和求得；又，求得和；假设切点和切线方程，根据极大值点为可确定一条切线为；将代入切线方程可得：和，从而可得的两根为，构造函数，结合图像求得的范围；（2）根据可得，从而；将切线代入求解出，从而得到.

（1） 是奇函数，且

且，即

而当时有极小值

经检验满足题意，则

设是曲线上的一点

由知：，

过点的切线方程为：

消去即得：

由此切线方程形式可知：过某一点的切线最多有三条；

又由奇函数性质可知：点是极大值点

从而是一条切线且过点

再设另两条切线的切点为、，其中

则可令切线，

将代入的方程中

化简可得：且

从而有：且

是方程的两根

构造函数：

由得：或

而，，结合图象：

可得：实数的取值范围是：

（2）令，；由及

可得：

而，化简可得：，即

将切线的方程代入中并化简得：

，即

；同理：

则，，