已知曲线C1在平面直角坐标系中的参数方程为$\left\{\begin{array}{l}{x=\frac{\sqrt{5}}{5}t}\\{y=\frac{2\sqrt{5}}{5}t-1}\end{array}\right.$.以坐标原点O为极点.x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系.有曲线C2:ρ=2cosθ-4sinθ(1)将C1的方程化为普通方程.并求出C2的� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

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14．已知曲线C₁在平面直角坐标系中的参数方程为$\left\{\begin{array}{l}{x=\frac{\sqrt{5}}{5}t}\\{y=\frac{2\sqrt{5}}{5}t-1}\end{array}\right.$（t为参数），以坐标原点O为极点，x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，有曲线C₂：ρ=2cosθ-4sinθ
（1）将C₁的方程化为普通方程，并求出C₂的平面直角坐标方程
（2）求曲线C₁和C₂两交点之间的距离．

分析（1）曲线C₁在平面直角坐标系中的参数方程为$\left\{\begin{array}{l}{x=\frac{\sqrt{5}}{5}t}\\{y=\frac{2\sqrt{5}}{5}t-1}\end{array}\right.$（t为参数），消去参数t可得普通方程．由曲线C₂：ρ=2cosθ-4sinθ，即ρ²=ρ（2cosθ-4sinθ），利用互化公式可得直角坐标方程．
（2）x²+y²=2x-4y．化为（x-1）²+（y+2）²=5．可得圆心C₂（1，-2），半径r=$\sqrt{5}$．求出圆心到直线的距离d，可得曲线C₁和C₂两交点之间的距离=2$\sqrt{{r}^{2}-{d}^{2}}$．

解答解：（1）曲线C₁在平面直角坐标系中的参数方程为$\left\{\begin{array}{l}{x=\frac{\sqrt{5}}{5}t}\\{y=\frac{2\sqrt{5}}{5}t-1}\end{array}\right.$（t为参数），消去参数t可得普通方程：y=2x-1．
由曲线C₂：ρ=2cosθ-4sinθ，即ρ²=ρ（2cosθ-4sinθ），可得直角坐标方程：x²+y²=2x-4y．
（2）x²+y²=2x-4y．化为（x-1）²+（y+2）²=5．可得圆心C₂（1，-2），半径r=$\sqrt{5}$．
∴曲线C₁和C₂两交点之间的距离=2$\sqrt{5-（\frac{2+2-1}{\sqrt{{1}^{2}+{2}^{2}}}）^{2}}$=$\frac{8\sqrt{5}}{5}$．

点评本题考查了参数方程化为普通方程、极坐标方程化为直角坐标方程、直线与圆相交弦长问题、点到直线的距离公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．

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