Question

6．设函数f（x）=2|x+1|+|x-3|．
（1）求不等式f（x）＜5的解集；
（2）设g（x）=kx，若f（x）≥g（x）恒成立，求k的取值范围．

Answer 1

分析 （1）讨论x的范围，去绝对值符号解不等式；
（2）令h（x）=f（x）-g（x），判断h（x）的单调性，得出h（x）在各段上的最小值，列出不等式组得出k的范围．

解答 解：（1）若x≥3，f（x）=2x+2+x-3=3x-1＜5，解得x＜2，舍去，
若-1＜x＜3，f（x）=2x+2-x+3=x+5＜5，解得x＜0，∴-1＜x＜0，
若x≤-1，f（x）=-2x-2-x+3=-3x+1＜5，解得x＞-$\frac{4}{3}$，∴-$\frac{4}{3}$＜x≤-1．
综上，不等式的解集是（-$\frac{4}{3}$，0）．
（2）令h（x）=f（x）-kx，则h（x）=$\left\{\begin{array}{l}{（3-k）x-1，x≥3}\\{（1-k）x+5，-1＜x＜3}\\{（-3-k）x+1，x≤-1}\end{array}\right.$，
则h（x）≥0恒成立，
若k＞3，则h（x）在[3，+∞）上是减函数，显然不符合题意；
若k=3，则h（x）在[3，+∞）上恒为-1，不符合题意；
若k＜-3时，h（x）在（-∞，-1）上为增函数，不符合题意；
若1＜k＜3，则h（x）在[3，+∞）上单调递增，在（-1，3）上单调递减，在（-∞，-1]上单调递减，
∴$\left\{\begin{array}{l}{3（3-k）-1≥0}\\{3（1-k）+5≥0}\\{-1（-3-k）+1≥0}\end{array}\right.$，解得1＜k≤$\frac{8}{3}$．
若-3＜k＜1，在h（x）在[3，+∞）上单调递增，在（-1，3）上单调递增，在（-∞，-1]上单调递减，
∴$\left\{\begin{array}{l}{3（3-k）-1≥0}\\{-（1-k）+5≥0}\\{3+k+1≥0}\end{array}\right.$，解得-4≤k$≤\frac{8}{3}$，∴-3＜k＜1，
当k=1时，经验证h（x）≥0成立，
当k=-3时，经验证h（x）≥0成立，
综上，-3≤k≤$\frac{8}{3}$．

点评 本题考查了绝对值不等式的解法，函数恒成立问题与函数最值的计算，属于中档题．