Question

11．如图所示，在长方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，AA₁=2AB=2BC，求异面直线A₁B与AD₁所成角的余弦值．

Answer 1

分析 连接A₁C₁，BC₁，则AD₁∥BC₁，故∠A₁BC₁是异面直线A₁B与AD₁所成的角或其补角．在△A₁BC₁中使用余弦定理求出cos∠A₁BC₁即可得出结论．

解答 解：连接A₁C₁，BC₁，则AD₁∥BC₁，
∴∠A₁BC₁是异面直线A₁B与AD₁所成的角或其补角．
设AB=BC=1，则AA₁=2，
∴A₁C₁=$\sqrt{2}$，A₁B=BC₁=$\sqrt{5}$，
在△A₁BC₁中，由余弦定理得：cos∠A₁BC₁=$\frac{5+5-2}{2\sqrt{5}•\sqrt{5}}$=$\frac{4}{5}$．
∴异面直线A₁B与AD₁所成角的余弦值为$\frac{4}{5}$．

点评 本题考查了异面直线所成角的计算，属于中档题．