Question

1．在△ABC中，AB=2，AC=3，∠BAC=90°，点D在AB上，点E在CD上，且∠ACB=∠DBE=∠DEB，则DC=$\frac{13}{4}$．

Answer 1

分析 如图所示，过点E，做EF⊥AB，垂足为F，设BD=x，∠ACB=∠DBE=∠DEB=θ，先求出tanθ=$\frac{2}{3}$，再求出tan2θ，根据两直线平行可得$\frac{xcos2θ}{2-x}$=$\frac{xsin2θ}{3}$，求出x的在值，再根据勾股定理求出答案．

解答 解：如图所示，过点E，做EF⊥AB，垂足为F，
设BD=x，∠ACB=∠DBE=∠DEB=θ，
∵AB=2，AC=3，∠BAC=90°，
∴tanθ=$\frac{2}{3}$，
∵∠DBE=∠DEB=θ
∴∠EDF=∠DBE+∠DEB=2θ，
∴tan2θ=$\frac{2tanθ}{1-ta{n}^{2}θ}$=$\frac{2×\frac{2}{3}}{1-\frac{4}{9}}$=$\frac{12}{5}$，
在Rt△EFD中，EF=xsin2θ，DF=xcos2θ
∵EF∥AC，
∴$\frac{DF}{AD}$=$\frac{EF}{AC}$，
∴$\frac{xcos2θ}{2-x}$=$\frac{xsin2θ}{3}$，
解得x=$\frac{3}{4}$，
∴AD=2-x=$\frac{5}{4}$，
∴CD=$\sqrt{A{C}^{2}+A{D}^{2}}$=$\sqrt{9+\frac{25}{16}}$=$\frac{13}{4}$，
故答案为：$\frac{13}{4}$．

点评 本题考查了解三角形的有关知识和两角和的正切公式以及相似的问题，属于中档题．