Question

15．如图，平面ABCD⊥平面ADEF，四边形ABCD为菱形，四边形ADEF为矩形，M，N分别是EF，BC的中点，AB=2AF，∠CBA=
60°．
（1）求证：DM⊥平面MNA；
（2）若三棱锥A-DMN的体积为$\frac{{\sqrt{3}}}{3}$，求MN的长．

Answer 1

分析 （1）连接AC，由题意可得△ABC为等边三角形，得到AN⊥BC，进一步有AN⊥AD，再由面面垂直的性质可得AN⊥平面ADEF，得到DM⊥AN，在矩形ADEF中，由已知可得∠AMF=45°，∠DME=45°，得到DM⊥AM，由线面垂直的判定可得DM⊥平面MNA；
（2）设AF=x，则AB=2AF=2x，求解直角三角形可得$AN=\sqrt{3}x$，把三角形ADN的面积用含有x的代数式表示，由题意求得FA⊥平面ABCD，则点M到平面ADN的距离为AF=x，由已知棱锥体积列式求得x，再由勾股定理求得MN的长．

解答 （1）证明：连接AC，在菱形ABCD中，∠CBA=60°，且AB=BC，
∴△ABC为等边三角形，
又∵N为BC的中点，∴AN⊥BC，
∵BC∥AD，∴AN⊥AD，
又∵平面ABCD⊥平面ADEF，AN?平面ABCD，
∴AN⊥平面ADEF，又DM?平面ADEF，∴DM⊥AN，
∵在矩形ADEF中，AD=2AF，M为EF的中点，
∴△AMF为等腰直角三角形，得∠AMF=45°，
同理得∠DME=45°，∴∠DMA=90°，则DM⊥AM，
又∵AM∩AN=A，且AM，AN?平面MNA，
∴DM⊥平面MNA；
（2）设AF=x，则AB=2AF=2x，
在Rt△ABN中，AB=2x，BN=x，∠ABN=60°
∴$AN=\sqrt{3}x$
∴${S_{△ADN}}=\frac{1}{2}×2x×\sqrt{3}x=\sqrt{3}{x^2}$
∵平面ABCD⊥平面ADEF，AD为交线，FA⊥AD，
∴FA⊥平面ABCD，
设h为点M到平面ADN的距离，则h=AF=x，
∴${V_{M-ADN}}=\frac{1}{3}×{S_{△CDF}}×h=\frac{1}{3}×\sqrt{3}{x^2}×x=\frac{{\sqrt{3}}}{3}{x^3}$，
∵${V_{M-ADN}}={V_{A-DMN}}=\frac{{\sqrt{3}}}{3}$，解得x=1．
∴$MN=\sqrt{A{N^2}+A{M^2}}=\sqrt{5}$．

点评 本题考查直线与平面垂直的判定，考查空间想象能力和思维能力，训练了利用等积法求多面体的体积，是中档题．