Question

4．如图，四棱锥P-ABCD的底面ABCD是平行四边形，侧面PAD是边长为2的正三角形，AB=BD=$\sqrt{5}$，PB=$\sqrt{7}$
（Ⅰ）求证：平面PAD⊥平面ABCD；
（Ⅱ）设Q是棱PC上的点，当PA∥平面BDQ时，求QB与面ABCD成角的正弦值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）取AD中点O，连结OP，OB，求解三角形可得OP⊥AD，OP⊥OB，再由线面垂直的判定可得OP⊥平面ABCD，进一步得到平面PAD⊥平面ABCD；
（Ⅱ）连接AC交BD于G，连接QG，由线面平行的性质可得PA∥QG，则Q为PC的中点．过Q作QH⊥平面ABCD，垂足为H，则QH=$\frac{1}{2}PO=\frac{\sqrt{3}}{2}$．然后证明BC⊥平面POB，得BC⊥PB，求解直角三角形可得BQ，则QB与面ABCD成角的正弦值可求．

解答 （Ⅰ）证明：取AD中点O，连结OP，OB，
∵PAD是边长为2的正三角形，∴$OP⊥AD，OP=\sqrt{3}$，
∵$AB=BD=\sqrt{5}∴OB⊥AD，OB=2$，
∴OB²+OP²=PB²，则OP⊥OB，
∵OB∩AD=O，∴OP⊥平面ABCD，
又OP?平面PAD，∴平面PAD⊥平面ABCD；
（Ⅱ）解：连接AC交BD于G，连接QG，
∵PA∥平面BDQ，∴PA∥QG，
又G为AC的中点，∴Q为PC的中点．
过Q作QH⊥平面ABCD，垂足为H，则QH=$\frac{1}{2}PO=\frac{\sqrt{3}}{2}$．
连接QB，BH，则∠QBH为QB与面ABCD所成角，
∵PO⊥平面ABCD，∴OP⊥BC，
又OB⊥AD，AD∥BC，∴OB⊥BC，
∵PO∩OB=O，∴BC⊥平面POB，则BC⊥PB．
在Rt△PBC中，由PB=$\sqrt{7}$，BC=2，可得PC=$\sqrt{11}$，
则BQ=$\frac{1}{2}PC=\frac{\sqrt{11}}{2}$．
∴sin∠QBH=$\frac{QH}{QB}=\frac{\frac{\sqrt{3}}{2}}{\frac{\sqrt{11}}{2}}=\frac{\sqrt{33}}{11}$．
即QB与面ABCD成角的正弦值为$\frac{{\sqrt{33}}}{11}$．

点评 本题考查平面与平面垂直的判定，考查空间想象能力和思维能力，考查线面角的求法，正确找出线面角是关键，是中档题．