Question

12．已知数列{a_n}的各项均是正数，其前n项和为S_n，满足S_n=4-a_n（n∈N^*）．
（1）求数列{a_n}的通项公式；
（2）设${b_n}=\frac{1}{{2-{{log}_2}{a_n}}}$（n∈N^*），数列{b_n•b_n+2}的前n项和为T_n，求证：${T_n}＜\frac{3}{4}$．

Answer 1

分析 （1）利用递推关系、等比数列的通项公式即可得出．
（2）利用裂项求和方法、数列的单调性即可证明．

解答 解：（1）由S_n=4-a_n，得S₁=4-a₁，解得a₁=2
而a_n+1=S_n+1-S_n=（4-a_n+1）-（4-a_n）=a_n-a_n+1，即2a_n+1=a_n，
∴$\frac{{{a_{n+1}}}}{a_n}=\frac{1}{2}$可见数列{a_n}是首项为2，公比为$\frac{1}{2}$的等比数列．
∴${a_n}=2•{（{\frac{1}{2}}）^{n-1}}={（{\frac{1}{2}}）^{n-2}}$；
（2）证明：∵${b_n}=\frac{1}{{2-{{log}_2}{a_n}}}$=$\frac{1}{{2-（{2-n}）}}=\frac{1}{n}$，
∴${b_n}{b_{n+2}}=\frac{1}{{n（{n+2}）}}$=$\frac{1}{2}（{\frac{1}{n}-\frac{1}{n+2}}）$
故数列{b_nb_n+2}的前n项和${T_n}=\frac{1}{2}[{（{1-\frac{1}{3}}）}\right.+（{\frac{1}{2}-\frac{1}{4}}）+$$（{\frac{1}{3}-\frac{1}{5}}）+（{\frac{1}{4}-\frac{1}{6}}）+…+$$\left.{（{\frac{1}{n-1}-\frac{1}{n+1}}）+（{\frac{1}{n}-\frac{1}{n+2}}）}]$
=$\frac{1}{2}（{1+\frac{1}{2}-\frac{1}{n+1}-\frac{1}{n+2}}）$=$\frac{1}{2}（{\frac{3}{2}-\frac{1}{n+1}-\frac{1}{n+2}}）$
=$\frac{3}{4}-\frac{1}{2}$$（{\frac{1}{n+1}+\frac{1}{n+2}}）＜\frac{3}{4}$

点评 本题考查了等比数列的通项公式、数列递推关系、裂项求和方法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．