Question

20．设点P（x，y）是曲线a|x|+b|y|=1（a≥0，b≥0）上任意一点，其坐标（x，y）均满足$\frac{x^2}{2}+{y^2}≤1$，则$\sqrt{2}$a+b取值范围为[2，+∞）．

Answer 1

分析 画出椭圆的区域，曲线表示的形状，利用图形推出a，b的范围，然后推出结果．

解答 解：满足$\frac{x^2}{2}+{y^2}≤1$，是以F₁（-1，0），F₂（1，0）为焦点的椭圆内部，
曲线a|x|+b|y|=1（a＞0，b＞0）为如下图所示的菱形ABCD，$C（\frac{1}{a}，0），D（0，\frac{1}{b}）$．
$\sqrt{{x}^{2}+{y}^{2}+2y+1}+\sqrt{{x}^{2}+{y}^{2}-2y+1}≤2\sqrt{2}$，所以$\frac{1}{a}≤\sqrt{2}，\frac{1}{b}≤1$，
即$a≥\frac{{\sqrt{2}}}{2}，b≥1$．
所以$\sqrt{2}a+b≥\sqrt{2}×\frac{{\sqrt{2}}}{2}+1=2$．
则$\sqrt{2}$a+b取值范围为：[2，+∞）．
故答案为：[2，+∞）．

点评 本题考查椭圆的简单性质以及不等式的简单性质的应用，考查计算能力．