Question

5．已知函数$f（x）=2sinxcosx+2\sqrt{3}{cos^2}x-\sqrt{3}$．
（1）求函数f（x）的单调减区间；
（2）将函数y=f（x）的图象向左平移$\frac{π}{6}$个单位，再将所得的图象上各点的横坐标缩短为原来的$\frac{1}{2}$倍，纵坐标不变，得到函数y=g（x）的图象，求y=g（x）在$（{-\frac{π}{12}，\frac{π}{8}}）$上的值域．

Answer 1

分析 （1）利用三角恒等变换化简函数f（x）的解析式，再利用正弦函数的单调性，求得函数f（x）的单调减区间．
（2）利用函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律，求得g（x）的解析式，再利用正弦定义域和值域，求得g（x）的值域．

解答 解：（1）函数$f（x）=2sinxcosx+2\sqrt{3}{cos^2}x-\sqrt{3}$=sin2x+$\sqrt{3}$cos2x=2sin（2x+$\frac{π}{3}$），
∴$当2kπ+\frac{π}{2}≤2x+\frac{π}{3}≤\frac{3π}{2}+2kπ，k∈Z时，解得$：$kπ+\frac{π}{12}≤x≤\frac{7π}{12}+kπ，k∈Z$，
因此，函数f（x）的单调减区间为$[kπ+\frac{π}{12}，\frac{7π}{12}+kπ]（k∈Z）$．
（2）将函数y=f（x）的图象向左平移$\frac{π}{6}$个单位，可得y=2sin（2x+$\frac{π}{3}$+$\frac{π}{3}$）的图象，
再将所得的图象上各点的横坐标缩短为原来的$\frac{1}{2}$倍，纵坐标不变，得到函数y=g（x）=2sin（4x+$\frac{2π}{3}$）的图象，
∵$x∈（{-\frac{π}{12}，\frac{π}{8}}）$，∴$4x+\frac{2π}{3}∈（{\frac{π}{3}，\frac{7π}{6}}）$，
∴$sin（{4x+\frac{2π}{3}}）∈（{-\frac{1}{2}，1}]$，∴y=g（x）的值域为（-1，2]．

点评 本题主要考查三角恒等变换，正弦函数的单调性函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律，正弦定义域和值域，属于中档题．