Question

15．已知a，b，c都是正数，且4a+9b+c=3，则$\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}$的最小值是12．

Answer 1

分析 由$\frac{1}{a}$+$\frac{1}{b}$+$\frac{1}{c}$=（$\frac{1}{a}$+$\frac{1}{b}$+$\frac{1}{c}$）（$\frac{4a}{3}$+3b+$\frac{c}{3}$），展开后，利用基本不等式即可求出答案

解答 解：由4a+9b+c=3，∴$\frac{4a}{3}$+3b+$\frac{c}{3}$=1，
∴$\frac{1}{a}$+$\frac{1}{b}$+$\frac{1}{c}$=（$\frac{1}{a}$+$\frac{1}{b}$+$\frac{1}{c}$）（$\frac{4a}{3}$+3b+$\frac{c}{3}$），
=$\frac{4}{3}$+$\frac{3b}{a}$+$\frac{c}{3a}$+3+$\frac{4a}{3b}$+$\frac{c}{3b}$+$\frac{1}{3}$+$\frac{4a}{3c}$+$\frac{3b}{c}$
=3+$\frac{5}{3}$+（$\frac{3b}{a}$+$\frac{4a}{3b}$）+（$\frac{c}{3a}$+$\frac{4a}{3c}$）+（$\frac{c}{3b}$+$\frac{3b}{c}$）≥3+$\frac{5}{3}$+4+$\frac{4}{3}$+2=12．
当且仅当a=$\frac{1}{4}$，b=$\frac{1}{6}$，c=$\frac{1}{2}$取等号，
故$\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}$的最小值是12．
故答案为：12

点评 本题考查了基本不等式的性质，考查了变形的能力，考查了推理能力和计算能力，属于中档题．