Question

在正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，下面结论中正确的是

 

（把正确结论的序号都填上）．①BD∥平面CB₁D₁；②AC₁⊥平面CB₁D₁；③AC₁与底面ABCD所成角的正切值是

2

．

Answer 1

考点：直线与平面所成的角,直线与平面平行的判定,直线与平面垂直的判定

专题：空间位置关系与距离,空间角

分析：利用直线与平面平行的判定定理判断①的正误；利用直线与平面垂直的判定定理判断②的正误；利用直线与平面所成角的正切函数值，判断③的正误．

解答： 解：对于①，BD∥B₁D₁，BD?平面CB₁D₁，B₁D₁?平面CB₁D₁，∴BD∥平面CB₁D₁；∴①正确．
对于②，∵几何体是正方体，易证D₁B₁⊥平面AA₁C₁，可得AC₁⊥D₁B₁，同理可得：AC₁⊥D₁B，∴AC₁⊥平面CB₁D₁；∴②正确．
对于③，AC₁与底面ABCD所成角的正切值是：

CC1

AC

=

a

2 a

=

2

2

≠

2

．∴③不正确．
故答案为：①②．

点评：本题考查直线与平面所成角，直线与平面平行与垂直的判定定理的应用，考查空间想象能力以及计算能力．