Question

【题目】已知椭圆 的左、右焦点分别为 , ．过 且斜率为 的直线 与椭圆 相交于点 , ．当 时，四边形 恰在以 为直径，面积为 的圆上．
（Ⅰ）求椭圆 的方程；
（Ⅱ）若 ，求直线 的方程．

Answer 1

【答案】解：（Ⅰ）当 时，直线 轴，
又四边形 恰在以 为直径，面积为 的圆上，
∴四边形 为矩形，且 ．
∴点 的坐标为 ．
又 ，
∴ ．
设 ，则 ．
在 中， ， ，
∴ ，
∴ ．
∴ ，
∴椭圆 的方程为 ．

（Ⅱ）将 与椭圆方程联立得 ，
设 ， ，得 ， ．
故
．
又 ，
∴ ，
即 ，
解得 ，
∴直线 的方程为
【解析】本题考查椭圆标准方程的求法，考查椭圆与直线的位置关系，解题时要认真审题，注意椭圆性质、韦达定理、椭圆与直线的位置关系的合理运用．直线与圆锥曲线的综合问题是高考的必考点，比方说求封闭面积，求距离，求他们的关系等等，常用的方法就是联立方程求出交点的横坐标或者纵坐标的关系，通过这两个关系的变形去求解．
【考点精析】关于本题考查的椭圆的标准方程，需要了解椭圆标准方程焦点在x轴：，焦点在y轴：才能得出正确答案．