Question

【题目】已知椭圆和双曲线有共同焦点 , 是它们的一个交点，且 ，记椭圆和双曲线的离心率分别为 ，则 的最大值为（ ）
A.
B.
C.2
D.3

Answer 1

【答案】A
【解析】考查一般性结论，当 时：
设 ，椭圆的长半轴长为 ，双曲线的长半轴长为 ，两曲线的焦距为 ，结合题意有： ，
两式平方相加可得： ，
两式平方作差可得： ，
由余弦定理有： ，
则： ， ，
即 ，结合二倍角公式有： .
本题中， ，则有： ，即 ，
则 ，当且仅当 时等号成立，
据此可得 的最大值为 .
故答案为：A.
本题考查了椭圆与双曲线的定义标准方程及其性质、余弦定理、基本不等式的性质，解决本题的关键是根据所得出的条件灵活变形，求出焦点三角形的边长来．