Question

【题目】如图，在三棱锥 中， 是等边三角形， 是 的中点， ，二面角 的大小为 ．

（1）求证：平面 平面 ；
（2）求 与平面 所成角的正弦值．

Answer 1

【答案】
（1）解： 面
又 面 ，所以 面 面
即平面 平面
（2）解：方法一：
就是 的平面角，得
作 于 , 连结 ，则 ，又
∴ 面 ，∴ 就是直线 与平面 所成的角
令 ， ，
∴
方法二：
，如图建立空间直角坐标系，

则 ，令 , 则 ，
又 为二面角 的平面角，得
设 ，则
设 为面 的一法向量，则
得 取 ，得
又 ， 得
设 为平面 所成角为 , 则
【解析】（1）证明AC⊥面PBD，即可证明平面PBD⊥平面PAC；
（2）求出面PAC的法向量，利用向量的方法求AB与平面PAC所成角的正弦值．
【考点精析】关于本题考查的用空间向量求直线与平面的夹角，需要了解设直线的方向向量为，平面的法向量为，直线与平面所成的角为，与的夹角为，　则为的余角或的补角的余角.即有：才能得出正确答案．