Question

【题目】“活水围网”养鱼技术具有养殖密度高、经济效益好的特点．研究表明：“活水围网”养鱼时，某种鱼在一定的条件下，每尾鱼的平均生长速度v(单位：千克/年)是养殖密度x(单位：尾/立方米)的函数．当x不超过4尾/立方米时，v的值为2千克/年；当4<x≤20时，v是x的一次函数，当x达到20尾/立方米时，因缺氧等原因，v的值为0千克/年．
（1）当0<x≤20时，求函数v关于x的函数表达式；
（2）当养殖密度x为多大时，鱼的年生长量(单位：千克/立方米)可以达到最大？并求出最大值．

Answer 1

【答案】
（1）解：由题意得当0<x≤4时，v＝2；
当4<x≤20时，设v＝ax＋b，
由已知得 解得
所以v＝－ x＋ ，故函数
v＝
（2）解：设鱼的年生长量为f(x)千克/立方米，依题意并由(1)可得
f(x)＝
当0<x≤4时，f(x)为增函数，故f(x)max＝f(4)＝4×2＝8；
当4<x≤20时，f(x)＝－ x2＋ x＝－ (x2－20x)＝－ (x－10)2＋ ，f(x)max＝f(10)＝12.5.
所以当0<x≤20时，f(x)的最大值为12.5.
即当养殖密度为10尾/立方米时，鱼的年生长量可以达到最大，最大值为12.5千克/立方米．
生长量可以达到最大，最大值为12.5千克/立方米.
【解析】（1）当4＜x≤20时，设v=ax+b，根据待定系数法求出a，b的值，从而求出函数的解析式即可；
（2）根据f（x）的表达式，结合二次函数的性质求出f（x）的最大值即可．求解函数解析式是高考重点考查内容之一，在三角函数的解析式中常考．是基础题．