Question

【题目】函数 图象上不同两点 ， 处切线的斜率分别是 ， ，规定 （ 为线段 的长度）叫做曲线 在点 与 之间的“弯曲度”，给出以下命题：
①函数 图象上两点 与 的横坐标分别为1和2，则 ；
②存在这样的函数，图象上任意两点之间的“弯曲度”为常数；
③设点 ， 是抛物线 上不同的两点，则 ；
④设曲线 （ 是自然对数的底数）上不同两点 ， ，且 ，若 恒成立，则实数 的取值范围是 ．
其中真命题的序号为（将所有真命题的序号都填上）

Answer 1

【答案】②③
【解析】解：对于①，由 得 ，
故 ，
又 ，故 。
∴ 。故①错误。
对于②，常数函数y=1满足图象上任意两点之间的“弯曲度”为常数，故②正确；
对于③，设 ， ，又 ，
∴
，
∴ ，故③正确。
对于④，由 可得 ， ，
由 恒成立可得 恒成立，
而当 时该式恒成立，故④错误。
综上可得②③正确。
故答案为：②③
本题主要考查函数的图像、抛物线的简单性质及函数的取值范围。