Question

【题目】[选修4-4：坐标系与参数方程]

在直角坐标系中，曲线的参数方程为（为参数），以原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系.

(1)求曲线的极坐标方程；

(2)若点的极坐标为，是曲线上的一动点，求面积的最大值．

Answer 1

【答案】(1);(2).

【解析】分析：（1）消去参数可以求出曲线C的普通方程，由，，能求出曲线的极坐标方程；

（2）解法一：极坐标法.设动点极坐标为，由正弦定理得的表达式，确定最大值.

解法二：几何法. 过圆心作的垂线交圆于、两点，交于点 .以为底边计算，将最大值，转化为底边上的高最大值问题，由圆的性质，易得当点M与点P重合时，高 时取得最大值，由锐角的三角函数得，，，即可求出面积的最大值．

解法三：与解法二相同，最大值时，由勾股定理求得.

解法四：与解法二相同，最大值时，由圆心到之间距离计算.

详解：解：（1）∵曲线的参数方程为（为参数），

∴消去参数得，即

∵，，

∴曲线的极坐标方程为即.

（2）解法一：设点的极坐标为且，

∴当且仅当即时，的最大值为

（2）解法二：

∵点、在圆上

∴过圆心作的垂线交圆于、两点，

交于点

则

如图所示,

（2）解法三：∵点、在圆上

∴过圆心作的垂线交圆于、两点，交于点

则

下同解法二

（2）解法四：∵点、在圆上

∴过圆心作直线的垂线交圆于、两点，交于点

∵直线的方程为：

∴点到直线的距离

下同解法二