Question

【题目】如图，梯形ABCD内接于⊙O，AD∥BC，过点C作⊙O的切线，交BD的延长线于点P，交AD的延长线于点E．

（1）求证：AB2=DEBC；
（2）若BD=9，AB=6，BC=9，求切线PC的长．

Answer 1

【答案】
（1）解：∵AD∥BC

∴AB=DC，∠EDC=∠BCD，

又PC与⊙O相切，∴∠ECD=∠DBC，

∴△CDE∽△BCD，∴ ，

∴CD2=DEBC，即AB2=DEBC

（2）解：由（1）知， ，

∵△PDE∽△PBC，

∴ ．

又∵PB﹣PD=9，

∴ ．

∴ ．

∴

【解析】对于（1）求证：AB2=DEBC，根据题目可以判断出梯形为等腰梯形，故AB=CD，然后根据角的相等证△CDE相似于△BCD，根据相似的性质即可得到答案．
对于（2）由BD=9，AB=6，BC=9，求切线PC的长．根据弦切公式可得PC2=PDPB，然后根据相似三角形边成比例的性质求出PD和PB代入即可求得答案．