Question

6．由曲线y=x^a（a为常数，且a＞0），直线y=0和x=1围成的平面图形的面积记为${∫}_{0}^{1}$x^adx，已知${{∫}_{0}^{1}x}^{\frac{1}{2}}$dx=$\frac{2}{3}$，${∫}_{0}^{1}xdx$=$\frac{1}{2}$，${∫}_{0}^{1}$${x}^{\frac{3}{2}}$dx=$\frac{2}{5}$，${∫}_{0}^{1}$x²dx=$\frac{1}{3}$，${∫}_{0}^{1}$${x}^{\frac{5}{2}}$dx=$\frac{2}{7}$，${∫}_{0}^{1}$x³dx=$\frac{1}{4}$，…，照此规律，当a∈（0，+∞）时，${∫}_{0}^{1}$xⁿdx=$\frac{2}{2a+2}$．

Answer 1

分析 由所给定积分，即可归纳得出结论．

解答 解：${{∫}_{0}^{1}x}^{\frac{1}{2}}$dx=$\frac{2}{3}$，${∫}_{0}^{1}xdx$=$\frac{1}{2}$，${∫}_{0}^{1}$${x}^{\frac{3}{2}}$dx=$\frac{2}{5}$，${∫}_{0}^{1}$x²dx=$\frac{1}{3}$，${∫}_{0}^{1}$${x}^{\frac{5}{2}}$dx=$\frac{2}{7}$，${∫}_{0}^{1}$x³dx=$\frac{1}{4}$，…，照此规律，当a∈（0，+∞）时，${∫}_{0}^{1}$xⁿdx=$\frac{2}{2a+2}$，
故答案为$\frac{2}{2a+2}$．

点评 本题考查定积分的计算，考查归纳推理，比较基础．