Question

已知函数的图象与函数的图象关于点A（0，1）对称．

    （I）求的值；

    （II）若，且在区间上为减函数，求实数的取值范围；

    （III）在条件（II）下，试证明函数与函数图象的交点不可能落在轴的左侧．

　　

Answer 1

（I） 

    （II）．  

    （III）证明见解析

解析:

（I）设P（）为函数图象上任意一点，点P关于点A的对称点为Q（），则有

    即  ．………………………………………………2分

    点Q在上，，

    ，即，．…………………    4分

    （II）。设任意，且，

    则，………………………    7分

    对一切恒成立．

    对一切恒成立，

    ．  …………………………………………………  9分

    （III）．………………………………     10分

    （证法一）假设两曲线的交点在轴左侧，即交点的横坐标．…11分

    则且，，即．

    这与假设矛盾，故两曲线的交点不可能在轴左侧.…………………     14分

    （证法二）假设两曲线的交点在轴的左侧，即交点的横坐标.

                                                                                                                             

    若，则，而，与假设矛盾；

    若，则，而，与假设矛盾．

    故曲线与曲线的交点不可能在轴左侧.………………………   14分

    （若用其它方法，可依据该标准合理赋分）