Question

△ABC的三个内角A，B，C的对边边长分别是a，b，c，且满足

cosB

cosC

=-

b

2a+c

．
（1）求角B的值；
（2）若b=

19

，a+c=5且a＞c，求a，c的值．

Answer 1

考点：余弦定理,正弦定理

专题：解三角形

分析：（1）已知等式利用正弦定理化简，整理后利用两角和与差的正弦函数公式及诱导公式化简，求出cosB的值，即可确定出B的度数；
（2）由余弦定理列出关系式，把b与cosB的值代入得到关于a与c的方程，与a+c=5联立求出a与c的值即可．

解答： 解：（1）∵

cosB

cosC

=-

b

2a+c

，由正弦定理得

cosB

cosC

=-

sinB

2sinA+sinC

，
∴cosB（2sinA+sinC）+sinBcosC=0，
∴2cosBsinA+cosBsinC+sinBsinC=0，即2cosBsinA+sin（C+B）=0，
又∵sinA=sin（C+B），sinA≠0，
∴cosB=-

1

2

，
∴B=

2π

3

；
（2）依题意，由余弦定理b²=a²+c²-2accosB得，a²+c²+ac=19，
又∵a+c=5，
解得：a=3，c=2．

点评：此题考查了正弦、余弦定理，以及两角和与差的正弦函数公式，熟练掌握定理及公式是解本题的关键．