Question

设等比数列{a_n}的前n项和S_n，首项a₁=1，公比．
（Ⅰ）证明：S_n=（1+λ）-λa_n；
（Ⅱ）若数列{b_n}满足，b_n=f（b_n-1）（n∈N^*，n≥2），求数列{b_n}的通项公式；
（Ⅲ）若λ=1，记，数列{c_n}的前项和为T_n，求证：当n≥2时，2≤T_n＜4．

Answer 1

解：（Ⅰ）证明：
而所以S_n=（1+λ）-λa_n
（Ⅱ），∴，∴，

∴是首项为，公差为1的等差数列，，即．

（Ⅲ）λ=1时，，∴

∴∴
相减得∴
∴，
又因为，∴T_n单调递增，
∴T_n≥T₂=2，故当n≥2时，2≤T_n＜4．

分析：（Ⅰ）先求等比数列{a_n}的前n项和S_n，再表达出，故可证；
（II）先求出b_n，再进一步变形，判断出是等差数列，根据等差数列的通项公式求出{b_n}的通项公式；
（III）先求出C_n，再由错位相减法求出该数列的前n项和为T_n．
点评：本题是数列的综合题，考查等差数列、等比数列的通项公式，涉及了错位相减法求数列的前n项和，考查了分析问题和解决问题的能力．