Question

（本小题满分14分）椭圆E的中心在原点O，焦点在x轴上，离心率，过点C（-1，0）的直线l交椭圆于A、B两点，且满足：（λ≥2）。
（1）若λ为常数，试用直线l的斜率k（k≠0）表示三角形OAB的面积；
（2）若λ为常数，当三角形OAB的面积取得最大值时，求椭圆E的方程；
（3）若λ变化，且λ=k²+1，试问：实数λ和直线l的斜率k（k∈R）分别为何值时，椭圆E的短半轴长取得最大值？并求出此时的椭圆方程。

Answer 1

同解析

解：设椭圆方程为：（a＞b＞ 0），由及a²=b²+c²得a²=3b²，故椭圆方程为x²+3y²=3b²…①                （1分）
（1）∵直线L：y=k（x+1）交椭圆于A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）两点，
并且（λ≥2）
∴（x₁+1，y₁）=λ（-1-x₂，-y₂），即……②
把y=k（x+1）代入椭圆方程,得:（3k²+1）x²+6k²x+3k²-3b²=0,且△=k²（3b²-1）+b²>0,
∴……③……④   （3分）
∴
联立②、③得：∴（5分）
（2）
当且仅当即时，S_△OAB取得最大值。
此时，又∵x₁+1=-λ（x₂+1），
∴，代入④得：故此时椭圆的方程为
（10分）
（3）由②．③联立得：将x₁．x₂代入④得：由k²=λ-1
得：
易知：当λ≥2时，3b²是λ的减函数，故当λ=2时，（3b²）_max=3．故当λ=2，
k=±1时，椭圆短半轴长取得最大值，此时椭圆方程为x²+3y²=3。（14分）