Question

20．已知椭圆$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞b＞0）的离心率为$\frac{\sqrt{6}}{3}$，且经过点A（2，0）
（Ⅰ）求椭圆的方程；
（Ⅱ）设直线l经过点（1，0）与椭圆交于B，C（不与A重合）两点．
（i）若△ABC的面积为$\frac{\sqrt{13}}{4}$，求直线l的方程；
（ii）若AB与AC的斜率之和为3，求直线l的方程．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由椭圆的性质可知：a=2，为e=$\frac{c}{a}$=$\sqrt{1-\frac{{b}^{2}}{{a}^{2}}}$=$\frac{\sqrt{6}}{3}$，求得b，即可求得椭圆的方程；
（Ⅱ）由题意可得直线l的斜率存在且不为0，设直线方程x=my+1，代入椭圆方程，由韦达定理求得y₁+y₂=$\frac{-2m}{{m}^{2}+3}$，y₁•y₂=$\frac{-3}{{m}^{2}+3}$，
（i）利用三角形的面积公式S_△ABC=$\frac{1}{2}$丨y₁-y₂丨=$\frac{1}{2}$•$\sqrt{（{y}_{1}+{y}_{2}）^{2}-4{x}_{1}{x}_{2}}$=$\frac{\sqrt{13}}{4}$，代入即可求得直线l的方程；
（ii）利用斜率公式分别求得k_AC=$\frac{{y}_{1}}{{x}_{1}-2}$，k_AB=$\frac{{y}_{2}}{{x}_{2}-2}$，由$\frac{{y}_{1}}{{x}_{1}-2}$+$\frac{{y}_{2}}{{x}_{2}-2}$=$\frac{{y}_{1}}{m{y}_{1}-1}$+$\frac{{y}_{2}}{m{y}_{2}-1}$=3，即可求得m的值，求得直线l的方程．

解答 解：（Ⅰ）椭圆$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞b＞0）焦点在x轴上，经过点A（2，0），
∴a=2，
由椭圆离心率为e=$\frac{c}{a}$=$\sqrt{1-\frac{{b}^{2}}{{a}^{2}}}$=$\frac{\sqrt{6}}{3}$，解得：b²=$\frac{4}{3}$，
∴椭圆的方程为：$\frac{{x}^{2}}{4}+\frac{{y}^{2}}{\frac{4}{3}}=1$，
（Ⅱ）（i）由题意可得直线l的斜率存在且不为0，
故设直线l的方程为x=my+1，（m≠0），B（x₁，y₁），C（x₂，y₂），
∴$\left\{\begin{array}{l}{x=my+1}\\{{x}^{2}+3{y}^{2}=4}\end{array}\right.$，整理得：（m²+3）y²+2my-3=0，
由△=4m²+12（m²+3）=16m²+36＞0恒成立，
则y₁+y₂=$\frac{-2m}{{m}^{2}+3}$，y₁•y₂=$\frac{-3}{{m}^{2}+3}$，
∴△ABC的面积S_△ABC=$\frac{1}{2}$丨y₁-y₂丨=$\frac{1}{2}$•$\sqrt{（{y}_{1}+{y}_{2}）^{2}-4{x}_{1}{x}_{2}}$=$\frac{1}{2}$×$\frac{\sqrt{16{m}^{2}+36}}{{m}^{2}+3}$=$\frac{\sqrt{13}}{4}$，
整理得：13m⁴+14m²-27=0，解得：m=±1，
直线l的方程x±my-1=0；
（ii）由k_AC=$\frac{{y}_{1}}{{x}_{1}-2}$，k_AB=$\frac{{y}_{2}}{{x}_{2}-2}$，
由题意可得：k_AC+k_AB=3，
∴$\frac{{y}_{1}}{{x}_{1}-2}$+$\frac{{y}_{2}}{{x}_{2}-2}$=$\frac{{y}_{1}}{m{y}_{1}-1}$+$\frac{{y}_{2}}{m{y}_{2}-1}$=$\frac{2m{y}_{1}{y}_{2}-（{y}_{1}+{y}_{2}）}{{m}^{2}{y}_{1}{y}_{2}-m（{y}_{1}+{y}_{2}）+1}$=-$\frac{4}{3}$m=3，
∴m=-$\frac{9}{4}$，
∴直线l的方程4x+9y-4=0．

点评 本题考查椭圆的标准方程及几何性质，考查直线与椭圆的位置关系，韦达定理，三角形的面积公式及直线的斜率公式，考查计算能力，属于中档题．