【题目】已知椭圆的左、右焦点为,点在椭圆上.
(1)设点到直线的距离为,证明:为定值;
(2)若是椭圆上的两个动点(都不与重合),直线的斜率互为相反数,当时,求直线的斜率.
【答案】(1)见解析;(2)
【解析】
(1)根据点与点的距离,点到直线的距离,再根据点P在椭圆上;(2)设直线PA的方程为y﹣n=k(x﹣m),则直线PB的方程为y﹣n=﹣k(x﹣m),分别与椭圆联立,求出点A,B的横坐标,根据斜率公式化简整理即可求出.
(1)椭圆C:1的左,右焦点为F1,F2,
则F2(1,0),
∵P(m,n)在椭圆C上,
∴1,
∴d=4﹣m,|PF2||m﹣2||4﹣m|,
∴2.
(2)0<m<2,则n>0,则直线PA,PB的斜率一定存在,设直线PA的方程为y﹣n=k(x﹣m),则直线PB的方程为y﹣n=﹣k(x﹣m),
由,消y可得(3+4k2)﹣8k(n﹣km)x+4(n﹣km)2﹣12=0,
∴mxA,
即xA,
同理可得xB,
∴yA﹣yB=k(xA﹣m)+n+k(xB﹣m)﹣n=k(xA+xB﹣2m)=k(2m),
xA﹣xB,
∵1,
∴﹣3m2=4n2﹣12,
∴kABm,
当m=1,n>0时,kAB.
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【题目】对于函数f(x),若a,b,c∈R,f(a),f(b),f(c)为某一三角形的三边长,则称f(x)为“可构造三角形函数”.已知函数f(x)=是“可构造三角形函数”,则实数t的取值范围是( )
A. B. C. D.
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【题目】如图,在长方体ABCD-A1B1C1D1中,AB=BC,E,F分别是AB1,BC1的中点.有下列结论:
①EF⊥BB1;
②EF∥平面A1B1C1D1;
③EF与C1D所成角为45°;
④EF⊥平面BCC1B1.
其中不成立的是( )
A.②③
B.①④
C.③④
D.①③
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【题目】党的十九大报告指出,要以创新理念提升农业发展新动力,引领经济发展走向更高形态.为进一步推进农村经济结构调整,某村举办水果观光采摘节,并推出配套乡村游项目现统计了4月份100名游客购买水果的情况,得到如图所示的频率分布直方图:
(Ⅰ)若将购买金额不低于元的游客称为“水果达人”,现用分层抽样的方法从样本的“水果达人”中抽取人,求这人中消费金额不低于元的人数;
(Ⅱ)从(Ⅰ)中的人中抽取人作为幸运客户免费参加山村旅游项目,请列出所有的基本事件,并求人中至少有人购买金额不低于元的概率;
(Ⅲ)为吸引顾客,该村特推出两种促销方案,
方案一:每满元可立减元;
方案二:金额超过元但又不超过元的部分打折,金额超过元但又不超过元的部分打折,金额超过元的部分打折.
若水果的价格为元/千克,某游客要购买千克,应该选择哪种方案.
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【题目】已知双曲线过点(3,-2)且与椭圆4x2+9y2=36有相同的焦点.
(1)求双曲线的标准方程;
(2)若点M在双曲线上,F1,F2为左、右焦点,且|MF1|+|MF2|=6,试判别△MF1F2的形状.
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【题目】在平面直角坐标系中,曲线的参数方程为(为参数).以坐标原点为原点,轴正半轴为极轴建立极坐标系,直线的极坐标方程为.
(1)求曲线的普通方程和直线的直角坐标方程;
(2)设直线与轴的交点为,过点作倾斜角为的直线与曲线交于两点,求的最大值.
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【题目】已知是圆上的一个动点,过点作两条直线,它们与椭圆都只有一个公共点,且分别交圆于点.
(Ⅰ)若,求直线的方程;
(Ⅱ)①求证:对于圆上的任意点,都有成立;
②求面积的取值范围.
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