Question

13．已知|$\overrightarrow{OA}$|=1，|$\overrightarrow{OB}$|=m，∠AOB=$\frac{3}{4}$π，点C在∠AOB内且$\overrightarrow{OA}•\overrightarrow{OC}$=0，若$\overrightarrow{OC}=2λ\overrightarrow{OA}+λ\overrightarrow{OB}$（λ≠0），则m=$2\sqrt{2}$．

Answer 1

分析 作CD∥OB，CE∥OA，根据向量加法的平行四边形法则即可得到$\overrightarrow{OD}=2λ\overrightarrow{OA}$，$\overrightarrow{OE}=λ\overrightarrow{OB}$，从而得到$|\overrightarrow{OC}|=|\overrightarrow{CE}|=2λ$，$|\overrightarrow{OE}|=mλ$，而△OCE为等腰直角三角形，从而得到$mλ=\sqrt{2}•（2λ）$，这样即可求出m．

解答 解：如图，过C分别作CD∥OB，CE∥OA，并分别交OA，OB于D，E，则：
$\overrightarrow{OD}=2λ\overrightarrow{OA}$，$\overrightarrow{OE}=λ\overrightarrow{OB}$；
∴$|\overrightarrow{OD}|=|\overrightarrow{OC}|=|\overrightarrow{EC}|=2λ$，$|\overrightarrow{OE}|=mλ$；
△OCE为等腰直角三角形；
∴$|\overrightarrow{OE}|=\sqrt{2}|\overrightarrow{OC}|$；
即$mλ=2\sqrt{2}λ，λ≠0$；
∴$m=2\sqrt{2}$．
故答案为：$2\sqrt{2}$．

点评 考查向量加法的平行四边形法则，向量数乘的几何意义，以及等腰直角三角形的斜边和直角边长度的关系．