Question

8．已知椭圆$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}$=1的焦点与双曲线$\frac{x^2}{6}-{y^2}$=1的焦点重合，且与x轴，y轴的正半轴分别交于A，B两点，若|AB|=5
（1）求椭圆的方程；
（2）已知F₁为椭圆的左焦点，求△ABF₁的面积．

Answer 1

分析 （1）求出双曲线的焦点坐标，再由椭圆的a，b的关系，可得a=4，b=3，即可得到椭圆方程；
（2）由直角三角形的面积公式，计算即可得到．

解答 解：（1）双曲线$\frac{x^2}{6}-{y^2}$=1的焦点为（±$\sqrt{7}$，0），
则椭圆的c=$\sqrt{7}$，
即有a²-b²=7，
由题意可得a²+b²=25，
解得a=4，b=3，
即有椭圆方程为$\frac{{x}^{2}}{16}$+$\frac{{y}^{2}}{9}$=1；
（2）△ABF₁的面积为S=$\frac{1}{2}$|AF₁|•|OB|
=$\frac{1}{2}$（a+c）b=$\frac{1}{2}$×（4+$\sqrt{7}$）×3
=$\frac{12+3\sqrt{7}}{2}$．

点评 本题考查椭圆的方程和性质，同时双曲线的方程和性质，注意椭圆和双曲线的a，b，c的区别，属于基础题和易错题．