Question

16．已知z=2x+y，其中实数x，y满足$\left\{\begin{array}{l}{y≥x}\\{x+y≤2}\\{x≥a}\end{array}\right.$，且z的最大值是最小值的4倍，则a的值是（　　）

• A． $\frac{2}{11}$
• B． $\frac{1}{4}$
• C． 4
• D． $\frac{11}{2}$

Answer 1

分析 作出不等式组对应的平面区域，利用z的几何意义，结合目标函数z=2x+y的最大值是最小值的4倍，建立方程关系，即可得到结论．

解答 解：作出不等式组对应的平面区域如图：
由z=2x+y得y=-2x+z，
平移直线y=-2x+z，
由图象可知当直线y=-2x+z经过点A时，直线的截距最大，
此时z最大，
由 $\left\{\begin{array}{l}{x+y=2}\\{y=x}\end{array}\right.$，解得：$\left\{\begin{array}{l}{x=1}\\{y=1}\end{array}\right.$，
即A（1，1），此时z=2×1+1=3，
当直线y=-2x+z经过点B时，直线的截距最小，
此时z最小，
由 $\left\{\begin{array}{l}{x=a}\\{y=x}\end{array}\right.$，解得：$\left\{\begin{array}{l}{x=a}\\{y=a}\end{array}\right.$，
即B（a，a），此时z=2×a+a=3a，
∵目标函数z=2x+y的最大值是最小值的4倍，
∴3=4×3a，即a=$\frac{1}{4}$，
故选：B．

点评 本题主要考查线性规划的应用，利用数形结合是解决本题的关键．