Question

9．在正三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，点D是BC的中点．
（1）求证：A₁C∥平面AB₁D；
（2）设M为棱CC₁的点，且满足BM⊥B₁D，求证：平面AB₁D⊥平面ABM．

Answer 1

分析 （1）根据线面平行的判定定理即可证明A₁C∥平面AB₁D；
（2）根据面面垂直的判定定理进行证明即可．

解答 证明：（1）记A₁B∩AB₁=O，连接OD．
∵四边形AA₁B₁B为矩形，∴O是A₁B的中点，
又∵D是BC的中点，∴A₁C∥OD．…2分
又∵A₁C?平面AB₁D，OD?平面AB₁D，
∴A₁C∥平面AB₁D．…6分
注意：条件“A₁C?平面AB₁D，OD?平面AB₁D”少写一个扣除2分，两个都不写本小步4分扣完！
（2）∵△ABC是正三角形，D是BC的中点，
∴AD⊥BC．…8分
∵平面ABC⊥平面BB₁C₁C，
平面ABC∩平面BB₁C₁C=BC，AD?平面ABC，
∴AD⊥平面BB₁C₁C．
或利用CC₁⊥平面ABC证明AD⊥平面BB₁C₁C．…10分
∵BM?平面BB₁C₁C，∴AD⊥BM．…12分
又∵BM⊥B₁D，AD∩B₁D=D，AD，B₁D?平面AB₁D，
∴BM⊥平面AB₁D．
又∵BM?平面ABM，
∴平面AB₁D⊥平面ABM． …14分．

点评 本题主要考查线面平行和面面垂直的判定，根据平行和垂直的判定定理是解决本题的关键．