Question

17．已知数列{a_n}的前n项和为S_n，满足2S_n=n（a_n+4）（n∈N^*）
（I）设a₂=5，求a₄；
（Ⅱ）设a₂=t，若当且仅当n=5时S_n取得最大值，求实数t的取值范围．

Answer 1

分析 （I）通过对2S_n=n（a_n+4）（n∈N^*）中令n=1，3，4，结合a₂=5计算即得结论；
（Ⅱ）通过2S_n=n（a_n+4）（n∈N^*）可得当n≥2时，有2S_n-1=（n-1）（a_n-1+4）（n∈N^*），两者相减可得（n-2）a_n=（n-1）a_n-1-4，进而有（n-1）a_n+1=na_n-4，两者相减可得数列{a_n}为等差数列，计算即得结论．

解答 解：（I）∵2S_n=n（a_n+4）（n∈N^*），a₂=5，
∴当n=1时，可得a₁=4；
当n=3时，2（a₁+a₂+a₃）=2（4+5+a₃）=3（a₃+4），即a₃=6；
当n=4时，可得2（a₁+a₂+a₃+a₄）=2（4+5+6+a₄）=3（4+a₄），即a₄=7；
（Ⅱ）∵2S_n=n（a_n+4）（n∈N^*），
∴当n≥2时，有2S_n-1=（n-1）（a_n-1+4）（n∈N^*），
两式相减可得：2a_n=na_n-（n-1）a_n-1+4，
即（n-2）a_n=（n-1）a_n-1-4，
又∵（n-1）a_n+1=na_n-4，
两式相减可得：（n-1）a_n+1+（n-1）a_n-1=（2n-2）a_n（n≥2），
∴a_n+1+a_n-1=2a_n（n≥2），
即a_n+1-a_n=a_n-a_n-1（n≥2），即数列{a_n}为等差数列，
在2S_n=n（a_n+4）中令n=1可得a₁=4，
又a₂=t，∴数列{a_n}的公差为t-4，
∴a_n=（t-4）n+8-t，
当且仅当n=5时，S_n取得最大值，等价于a₅＞0且a₆＜0，
即t＞3，且t＜$\frac{16}{5}$，故t∈（3，$\frac{16}{5}$）．

点评 本题考查是一道关于数列的综合题，考查运算求解能力，注意解题方法的积累，属于中档题．