Question

17．已知函数f（x）=$\frac{1}{3}{x^3}+2{x^2}$+2x，若存在满足0≤x₀≤3的实数x₀，使得曲线y=f（x）在点（x₀，f（x₀））处的切线与直线x+my-10=0垂直，则实数m的取值范围是（三分之一前有一个负号）（　　）

• A． [6，+∞）
• B． （-∞，2]
• C． [2，6]
• D． [5，6]

Answer 1

分析 求出函数的导数，求出切线的斜率，再由两直线垂直斜率之积为-1，得到4x₀-x₀²+2=m，再由二次函数求出最值即可．

解答 解：函数f（x）=-$\frac{1}{3}{x^3}+2{x^2}$+2x的导数为f′（x）=-x²+4x+2．
曲线f（x）在点（x₀，f（x₀））处的切线斜率为4x₀-x₀²+2，
由于切线垂直于直线x+my-10=0，则有4x₀-x₀²+2=m，
由于0≤x₀≤3，由4x₀-x₀²+2=-（x₀-2）²+6，
对称轴为x₀=2，
当且仅当x₀=2，取得最大值6；
当x₀=0时，取得最小值2．
故m的取值范围是[2，6]．
故选：C．

点评 本题考查导数的几何意义：曲线在某点处的切线的斜率，考查两直线垂直的条件和二次函数最值的求法，属于中档题．